Question

9．如图所示，A，B是坐标轴正半轴上的两点，过点B作PB⊥y轴交双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）于P点，A，B两点的坐标分别为（1，0），（0，3），x轴上的动点M在点A的右侧，动点N在射线BP上，过点A作AB的垂线，交射线BP于D点，交直线MN于Q点，连结BQ，取BQ的中点C，若以A，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，则Q点的坐标为（4，1）或（28，9）．
 

Answer 1

分析 首先求出直线AD的解析式，求出点D坐标，分两种情形讨论①如图1中，当Q在线段AD上时，作QE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F．②如图2中，当点Q在AD的延长线上时，作QF⊥x轴于F，DE⊥AF于E．分别求解即可．

解答 解：∵A（1，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为y=-3x+3，
∵AD⊥AB，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∵BD⊥y轴，
∴BD∥OA，
∴D（10，3），
①如图1中，当Q在线段AD上时，作QE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F．

∵四边形ACNQ是平行四边形，
∴AQ=CN，CN∥AD，
∵BC=CQ，
∴BN=ND，
∴DQ=2CN=2AQ，
∵QE∥DF，
∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{QE}{DF}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{1}{3}$，
∵AF=9，DF=3，
∴QE=1，AE=3，
∴点Q坐标为（4，1）．

②如图2中，当点Q在AD的延长线上时，作QF⊥x轴于F，DE⊥AF于E．

∵四边形ACQN是平行四边形，
∴AN∥BQ，AN=CQ，
∴$\frac{AN}{BQ}$=$\frac{AD}{DQ}$，∵BC=CQ，
∴$\frac{AD}{DQ}$=$\frac{1}{2}$，
∵DE∥QF，
∴$\frac{DE}{QF}$=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AD}{AQ}$=$\frac{1}{3}$，
∵AE=9，DE=3，
∴QF=9，AF=27，
∴点Q坐标（28，9），
综上所述点Q坐标（4，1）或（28，9）．
故答案为（4，1）或（28，9）．

点评 本题考查反比例函数，相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、一次函数等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．