Question

已知?ABCD中，AB=，AD=2，∠D=45°，?EBGF是由?ABCD旋转所得，且边EF刚好过点C，连接AE，CG
（1）求的值；
（2）求四边形AECD的面积．

Answer 1

解：（1）∵?EBGF是由?ABCD旋转所得，且边EF刚好过点C，
∴∠ABE=∠CBG，AB=EB，BC=BG，
∴，
∴△ABE∽△CBG，
∴=，
∵?ABCD中，AB=，AD=2，
∴BC=AD=2，
∴=；

（2）过点C作CH⊥AD于H，
∵∠D=45°，CD=AB=，
∴CH=CD•sin60°=，
∴S_?BEFG=S_?ABCD=AD•CH=2×=，
∴S_△BCG=S_?ABCD=，
∵△ABE∽△CBG，
∴△ABE与△BCG的面积比为3：4，
∴S_△ABE=×=，
过点C作△BEC的高CK，设CK=h，
∵BE∥GF，∠F=∠D=45°，
∴∠KEC=∠F=45°，
∴EK=EC=h，
∴BK=BE+EK=+h，
在Rt△BKC中，BK²+CK²=BC²，
即（+h）²+h²=2²，
解得：h=，
∴S_△BCE=BE•CK=××=，
∴S_{四边形AECD}==．
分析：（1）由旋转的性质，易证得△ABE∽△CBG，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值；
（2）首先过点C作CH⊥AD于H，求出平行四边形ABCD的高和面积而△BCG的面积是平行四边形BFGE面积的一半，可得△ABE的面积，再过点C作△BEC的高CK，设CK=h，由勾股定理可得方程：（+h）²+h²=2²，解方程求得h的值，继而求得△BCE的面积，则可求得四边形AECD的面积．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理以及旋转的性质．此题难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．