Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛物线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点，连接、．

（1）求曲线所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求外接圆的半径；

（3）点为曲线或曲线上的一个动点，点为轴上的一个动点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；(2) ；（3）点的坐标分别为.

【解析】

试题分析：(1) 把化为顶点式，求得该抛物线的顶点坐标和开口方向，由翻折可得曲线所在抛物线的顶点坐标和开口方向，即可得曲线的解析式；（2）先求得外接圆圆心的坐标，再利用勾股定理求得半径的长即可；（3）分点P位于曲线M上和点P位于曲线N上两种情况求点Q的坐标即可.

试题解析：（1）因为可化为，

所以抛物线的点的坐标为（1，-4），开口向上，

所以曲线所在抛物线的顶点坐标为（1，4），开口向下，

故曲线所在抛物线相应的函数表达式为，

即；

（2）因为抛物线交轴于、两点，

所以A(-1,0),B(3,0),则线段AB的垂直平分线的直线为x=1，

因为曲线交轴于点（0，3），

所以OC=OB,又∠COB=90°，所以线段BC的垂直平分线为直线y=x，

联立 ，解得，所以△ABC的外接圆圆心坐标为（1，1），

由勾股定理可得，所以△ABC的外接圆半径为；

（3）过点C作直线l∥x轴，交曲线M或N于点P，

①当点P位于曲线M上时，

由，解得，

所以CP=,H或CP=；

因为以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，

所以CP∥BQ且CP=BQ,

所以;

②当点P位于曲线N上时，

由，解得(舍去)，

所以CP=2；

因为以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，

所以CP∥BQ且CP=BQ,

所以;

综上所述，点的坐标分别为.