Question

如图，已知CA、CD是⊙O的两条切线，A、D为切点，AB是⊙O的直径．
（1）如图1，OC交⊙O于N，若BN∥CD，求证：BN=CD；
（2）如图2，BE∥CD交⊙O于E，若AB=AC=8，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）如图1，连接AD，利用切线的性质及四点共圆的知识问题即可解决；
（2）如图2，作辅助线，证明△CAG≌△ABE，得AE=CG；运用切线的性质及勾股定理即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，连接AD；
CA、CD是⊙O的两条切线，
∴∠CAO+∠CDO=90°+90°=180°，
∴C、A、O、D四点共圆，
∴∠CAO=∠CDA；
又∵CD为⊙O的切线，
∴∠ABD=∠CDA，
∴∠COA=∠ABD，
∴CO∥BD；
又∵BN∥CD，
∴四边形DCNB为平行四边形，
∴BN=CD．
（2）如图2，延长AE交CD于点G，连接OD，交BE于点F；
∵AB⊙O的直径，CD为⊙O的切线，
∴AE⊥BE，CD⊥OD；
又∵CD∥BE，
∴CD⊥AG，OD⊥BE；
∴四边形EFDG为矩形，EF=DG；
∴OF∥AE，而OA=OB，
∴BF=EF；
∵∠C+∠CAG=∠CAG+∠EAB=90°，
∴∠C=∠EAB；
在△CAG与△ABE中，

∠C=∠EAB ∠CGA=∠AEB AC=AB

，
∴△CAG≌△ABE（AAS），
∴CG=AE（设为x），AG=BE；
∵CA、CD分别为⊙O的切线，
∴CA=CD=8，DG=8-x，
∴EF=DG=8-x；
∴BE=2EF=16-2x；
由勾股定理得：
8²=x²+（16-2x）²，
整理得：5x²-64x+192=0，
解得：x=

24

5

或8（舍去），
∴BE=16-2x=

32

5

，
即BE的长为

32

5

．

点评：本题在考查切线的性质及其应用的同时，还渗透了对四点共圆、平行线的判定、勾股定理的应用等知识点的考查；灵活运用有关定理来解题是关键．