Question

6．如图，抛物线y=ax²+c经过点A（0，2）和点B（-1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）将此抛物线平移，使其顶点坐标为（2，1），平移后的抛物线与x轴的两个交点分别为点C，D（点C在点D的左边），求点C，D的坐标；
（3）将此抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m，平移后的抛物线与x轴两个交点之间的距离为n，若1＜m＜3，直接写出n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于a、c的方程组，通过解方程求得它们的值；
（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令y=0，则解关于x的方程，即可求得点C、D的横坐标；
（3）根据根与系数的关系来求n的取值范围；

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+c经过点A（0，2）和点B（-1，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ a+c=0\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ c=2\end{array}\right.$
∴此抛物线的解析式为y=-2x²+2；

（2）∵此抛物线平移后顶点坐标为（2，1），
∴抛物线的解析式为y=-2（x-2）²+1
令y=0，即-2（x-2）²+1=0
解得  x₁=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵点C在点D的左边
∴C（ 2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），D（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）‘

（3）$\sqrt{2}$＜n＜$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．