Question

20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，OP=1，求线段BF的长．

Answer 1

分析 （1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
（2）连接OC，设OC=OB=x，则PB=x-1，解直角三角形求得PC=2（x-1），在Rt△OPC中，利用勾股定理求出OB=$\frac{5}{3}$，进而求得PD=PC=$\frac{4}{3}$，AB=$\frac{10}{3}$，AP=$\frac{8}{3}$由△APD∽△ABF，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BF}$，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD=∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴PD=$\frac{1}{2}$CD，
设OC=OB=x，
∴PB=x-1，
∵tan∠BCD=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2（x-1），
在Rt△POC中，OC²=PC²+OP²，
∴x²=（2x-2）²+1²，
解得x=$\frac{5}{3}$，x=1（舍去），
∴OB=$\frac{5}{3}$，
∴PD=PC=$\frac{4}{3}$，AB=$\frac{10}{3}$，AP=$\frac{8}{3}$
∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{BF}$，
∴$\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}$=$\frac{\frac{4}{3}}{BF}$，
∴BF=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．