Question

12．如图，已知反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象与正比例函数y=kx（k＞0，k≠3），y=3x的图象分别交于A，B，C，D四点．
（1）若点A的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），写出B，C，D三点的坐标；
（2）证明四边形ACBD是平行四边形；
（3）当k为何值时，四边形ACBD是矩形？求出此时四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据点A的坐标求出k的值，分别列方程组求四个交点的坐标；
（2）根据反比例函数是中心对称图形可知：OA=OB，OC=OD，所以对角线互相平分的四边形是平行四边形，则四边形ACBD是平行四边形；
（3）先列方程组求出点A的坐标，当四边形ACBD是矩形时，OA=OC，根据第1问中点C的坐标利用勾股定理求出OC的长，由OA=OC列式可求得k的值，再求矩形的长和宽，代入面积公式可得矩形面积．

解答 解：（1）把A的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）代入y=kx中得：2k=$\frac{3}{2}$，
k=$\frac{3}{4}$，
∴正比例函数解析式为：y=$\frac{3}{4}$x；
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$    解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=3x}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$   $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-3}\end{array}\right.$，
∴B（-2，-$\frac{3}{2}$），C（1，3），D（-1，-3）；
（2）∵反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象是关于原点O的中心对称图形
∴OA=OB，OC=OD
∴四边形ACBD是平行四边形；
（3）若四边形ACBD是矩形，
∴AB=CD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴OC=OA，
∵C（1，3），
∴OA=OC=$\sqrt{10}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=kx}\end{array}\right.$   解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{\frac{3}{k}}}\\{{y}_{1}=\sqrt{3k}}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{\frac{3}{k}}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{3k}}\end{array}\right.$，
∴A（$\sqrt{\frac{3}{k}}$，$\sqrt{3k}$），
∴$（\sqrt{\frac{3}{k}}）^{2}+（\sqrt{3k}）^{2}$=（$\sqrt{10}$）²，
3k²-10k+3=0，
（3k-1）（k-3）=0，
k₁=$\frac{1}{3}$，k₂=3（舍），
∴正比例函数解析式为：y=$\frac{1}{3}$x；
∴A（3，1），
分别过A、C作x轴、y轴的垂线，交于点E，则△AEC是直角三角形，
AE=3-1=2，CE=3-1=2，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴S_矩形ABCD=BC•AC=4$\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$=16．

点评 本题是四边形与函数的综合题，考查了矩形、平行四边形的性质和判定、一次函数和反比例函数的交点问题，确定两函数交点时，将两函数的解析式列方程组，其解就是交点坐标；同时要熟练掌握矩形、平行四边形的性质和判定；注意数形结合的思想，及坐标与图形的特点．