Question

7．如图，在矩形ABCD中，点P为AB上一个动点，以DP为折线翻折△APD得到△DPE，A的对应点为点E，连接BE，若AB=3，AD=4，当△BEP为直角三角形时，求AP的长．

Answer 1

分析 由矩形的性质和勾股定理求出BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5，由折叠的性质得出ED=AD=4，PE=AP，∠PED=∠A=90°，则∠PEB=90°，BE=1，设AP=PE=x，则PB=3-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由折叠的性质得：△DPE≌△DPA，
∴ED=AD=4，PE=AP，∠PED=∠A=90°，
∴∠PEB=90°，
∴BE=BD=5-4=1，
设AP=PE=x，则PB=3-x，
由勾股定理得：PE²+BE²=PB²，
即x²+1²=（3-x）²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
即AP的长为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．