Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（-2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在一侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2$\sqrt{2}$）或（2，-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 连接EC．只要证明△ABD≌△ACE，推出BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，由∠ACB=45°，推出∠ECD=90°，推出点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，再分三种情形讨论即可解决问题．

解答 解：连接EC．

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ECD=90°，
∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，
①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）．
②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）．
③当BD=AB=2$\sqrt{2}$时，E（2，2$\sqrt{2}$）或（2，-2$\sqrt{2}$），
故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2$\sqrt{2}$）或（2，-2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，属于中考常考题型．