Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，

3

），点C的坐标为（

1

2

，0），且∠B=60°，点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：作A关于OB的对称点D，交OB于点M，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，
则此时PA+PC的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（3，

3

），
∴AB=

3

，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=2

3

，
由三角形面积公式得：

1

2

×OA×AB=

1

2

×OB×AM，
∴AM=

3

2

，
∴AD=2×

3

2

=3，
∵∠AMB=90°，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵∠BAO=90°，
∴∠OAM=60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA=30°，
∴AN=

1

2

AD=

3

2

，由勾股定理得：DN=

3

2

3

，
∵C（

1

2

，0），
∴CN=3-

1

2

-

3

2

=1，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=

12+( 3 2 3 )2

=

31

2

，
即PA+PC的最小值是

31

2

．
故答案为

31

2

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．