Question

【题目】如图，∠AEF＝80°，且∠A＝x°，∠C＝y°，∠F＝z°．若＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100）

(1) 求∠A、∠C的度数（用含m的代数式表示）

(2) 求证：AB∥CD

(3) 若∠A＝40°，∠BAM＝20°，∠EFM＝10°，直线AM与直线FM交于点M，直接写出∠AMF的度数

Answer 1

【答案】(1) ∠A＝m＋20°，∠C＝m＋80°；(2)见解析； (3)50°、70°、30°、10°.

【解析】

（1）根据二次根式和绝对值的非负数性质解答即可；（2）过点F作FG∥AB，过点E作EH∥AB，可知EH//FG，根据平行线性质可证明∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，进而证明∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，由∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，通过判定定理即可证明结论；（3）当∠A＝40°时，∠C＝100°，分情况讨论AM和FM的位置，计算即可；

(1) ∵＋|y－80－m|＋|z－40|＝0（m为常数，且0＜m＜100），

∴x-m-20=0，y-80-m=0，z-40=0，

∴∠A＝x°=m＋20°，∠C＝y°=m＋80°，z=40°，

(2) 过点F作FG∥AB，过点E作EH∥AB，

∴EH∥FG，

∴∠BAE＝∠AEH＝m＋20°，∠EFG＝∠FEH，

∴∠EFG＝∠AEF－∠AEH＝80°－(m＋20°)＝60°－m，

∵∠CFG＋∠FCD＝y＋z＋80°－x＝80°＋m＋40°＋80°－m－20°＝180°，

∴AB∥CD，

(3) 当∠A＝40°时，∠C＝100°，

如图，分为四种情况:

延长FE交AM于N，

∵∠BAE=40°，∠BAM=20°，

∴∠MAE=20°，

∵∠AEF=80°，

∴∠ANE=80°-20°=60°，

∴∠AMF=60°-10°=50°，

∵∠AGF=∠MFE+∠AEF=10°+80°=90°，

∴∠AMF=90°-∠MAE=70°，

∵∠BAM=20°，∠BAE=40，°

∴∠EAM=60°，

∵∠AHF=∠MFE+∠AEF=90°，

∴∠AMF=90°-∠EAM=30°，

延长AE交FM于O，

∵∠AEF=∠EFO+∠AOF=80°，

∴∠AOF=80°-10°=70°，

∴∠AMF=∠AOF-∠MAF=70°-60°=10°，

综上所述：∠AMF的度数分别为：50°；70°；30°；10°.