Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．
（1）当∠A=35°时，求∠CBD的度数．
（2）若AC=4，BC=3，求AD的长．
（3）当AB=m（m＞0），△ABC 的面积为m+1时，求△BCD的周长．（用含m的代数式表示）

Answer 1

解：（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；

（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴AD=DB，
设CD=x，则AD=BD=4-x，
在Rt△CDB中，CD²+CB²=BD²，
x²+3²=（4-x）²，
解得：x=，
AD=4-=3；

（3）∵△ABC 的面积为m+1，
∴AC•BC=m+1，
∴AC•BC=2m+2，
∵在Rt△CAB中，CA²+CB²=BA²，
∴CA²+CB²+2AC•BC=BA²+2AC•BC，
∴（CA+BC）²=m²+4m+4=（m+2）²，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD的周长为m+2．
分析：（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；
（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=4-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x²+3²=（4-x）²，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；
（3）根据三角形ACB的面积可得AC•BC=m+1，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA²+CB²=BA²，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．
点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．