Question

如图，△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，且∠CBF=∠CAB．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=4，sin∠CBF=，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）设∠CBF=α，∠BAC=2α，根据切线性质求出∠ABC=90°-α，根据三角形的内角和定理求出∠ACB，推出∠ABC=∠ACB即可；
（2）根据等腰三角形性质求出BE=CE，∠BAE=∠CAE，推出∠CBF=∠BAE，在△ABE中，根据sin∠BAE=，求出BE即可．
解答：（1）证明：设∠CBF=α，∠BAC=2α，BF是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°-α，
∴∠ACB=180°-2α-90°+α=90°-α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（2）解：连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵AB=AC，
∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠CBF=∠BAE，
即sin∠BAE=sin∠CBF=，
∵在△ABE中，sin∠BAE=，
∴BE=AB×sin∠BAE=4×=
∴BC=2BE=2．
点评：本题考查了切线性质，解直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力，综合性比较强，有一定的难度．