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如图,△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F,且∠CBF=数学公式∠CAB.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=4,sin∠CBF=数学公式,求BC的长.

(1)证明:设∠CBF=α,∠BAC=2α,BF是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°-α,
∴∠ACB=180°-2α-90°+α=90°-α,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;

(2)解:连接AE,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
又∵AB=AC,
∴BE=CE,∠BAE=∠CAE,
∵BF是⊙O的切线,
∴∠CBF=∠BAE,
即sin∠BAE=sin∠CBF=
∵在△ABE中,sin∠BAE=
∴BE=AB×sin∠BAE=4×=
∴BC=2BE=2
分析:(1)设∠CBF=α,∠BAC=2α,根据切线性质求出∠ABC=90°-α,根据三角形的内角和定理求出∠ACB,推出∠ABC=∠ACB即可;
(2)根据等腰三角形性质求出BE=CE,∠BAE=∠CAE,推出∠CBF=∠BAE,在△ABE中,根据sin∠BAE=,求出BE即可.
点评:本题考查了切线性质,解直角三角形,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质,主要考查学生运用定理进行推理的能力,综合性比较强,有一定的难度.
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