Question

18、已知方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．

Answer 1

分析：先根据方程有两个实数根判断出k的取值范围，设出方程的两个实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系建立起关系式，再根据这两个实数根的平方和比两根的积大21可列出关于k的方程，求出k的值，再把k的值代入原方程即可解答．

解答：解：∵方程x²+2（k-2）x+k²+4=0有两个实数根，
∴△=4（k-2）²-4（k²+4）≥0，
∴k≤-1，
设方程的两根分别为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2）…①，x₁•x₂=k²+4…②，
∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x₁²+x₂²=x₁•x₂+21，
即（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=21，
把①、②代入得，4（k-2）²-3（k²+4）=21，
∴k=17（舍去）或k=-1，
∴k=-1，
∴原方程可化为x²-6x+5=0，
解得x₁=1，x₂=5．

点评：此题比较复杂，考查的是一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解答此题的关键是先判断出k的取值范围，再根据根与系数的关系解答．