Question

已知关于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整数，求整数k的值．

Answer 1

分析：分两种情况：①如果k²-1=0，则为一元一次方程，分别求出方程的根；②如果k²-1≠0，则为一元二次方程，根据方程有实数根，得出判别式△≥0，再利用方程两根分别为x₁，x₂，由韦达定理，得出k的取值范围，即可得出答案．

解答：解：分两种情况：
①如果k²-1=0，那么k=±1．
当k=1时，原方程即为-12x+72=0，x=6，解是正整数，符合题意；
当k=-1时，原方程即为24x+72=0，x=-3，解不是正整数，不符合题意；
②如果k²-1≠0，那么原方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k²-1）x²-6（3k-1）x+72=0的解都是正整数，
∴方程有实数根，判别式△≥0，
[-6（3k-1）]²-4×（k²-1）×72≥0，
整理，得：k²-6k+9≥0，
（k-3）²≥0．
设方程两根分别为x₁，x₂，由韦达定理，得
x₁+x₂=

6(3k-1)

k2-1

＞0，
解得k＞1或-1＜k＜

1

3

，
x₁x₂=

72

k2-1

＞0，
k＞1或k＜-1．
综上，得k＞1，
∵

72

k2-1

为整数，∴k²-1可以为1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，
∵k为整数，∴k²-1可以为3，8，24，
∵

6(3k-1)

k2-1

为整数，
∴k=2，3．
，综上，可知整数k的值1，2，3．

点评：此题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，根据题意利用根与系数的关系以及根的判别式得出是解决问题的关键．