Question

已知关于x的方程3x²-4x•sinα+2（1-cosα）=0有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由方程两个不相等的实数根，则△＞0，即△=16sin²α-4×3×2（1-cosα）＞0，再根据sin²α+cos²α=1，得到cosα得不等式，解不等式得到cosα的范围，最后利用锐角三角函数的性质确定α的取值范围．

解答：解：∵关于x的方程3x²-4x•sinα+2（1-cosα）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=16sin²α-4×3×2（1-cosα）＞0，化简为2sin²α+3cos-3＞0；
又∵sin²α+cos²α=1，
∴2cos²α-3cos+1＜0，即（2cosα-1）（cosα-1）＜0，
∴

1

2

＜cosα＜1，即cos60°＜cosα＜cos0°，
所以α的取值范围是0°＜α＜60°．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了锐角三角函数的性质：sin²α+cos²α=1；余弦函数为减函数；还要记住特殊角的三角函数值．