Question

如图所示，△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发：
（1）经过多少秒后，△CPQ的面积为8cm？
（2）经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．

Answer 1

（1）解：设AC=3x，AB=5x，
由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
∴（3x）²+8²=（5x）²，
解得：x=2，
∴AC=6，AB=10，
设经过t秒后，△CPQ的面积为8cm²，
PC=8-2t，CQ=t，
PC×CQ=8，
×（8-2t）×t=8，
解得：此方程无解，
答：不论经过多少秒后，△CPQ的面积都不能为8cm²．

（2）解：设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，
∵∠C=∠C=90°，
∴要使以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，
具备=或=就行，
代入得：=或=，
解得：x=2.4或x=，
答：经过2.4秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．
分析：（1）设AC=3x，AB=5x，根据勾股定理求出AC、AB的长，根据三角形的面积公式得到方程×（8-2t）×t=8，求出方程的解即可；
（2）设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，根据相似三角形的性质得到=或=，代入求出即可．
点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意列出方程是解此题的关键．