Question

已知一次函数y=

3

4

x+m的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数y=

24

x

的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m、n的值，并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象；
（2）如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度沿线段AD、CA向D、A运动，设AP=k．
①k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
②k为何值时，△APQ的面积取得最大值并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）首先根据反比例函数的解析式求得n的值，再根据点C的坐标求得m的值．根据直线与坐标轴的交点坐标准确画出函数的图象；
（2）①已知△AOB是直角三角形，要使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，则∠APQ=90°或∠AQP=90°．根据题意表示对应的两条边，再根据相似三角形的对应边的比相等列方程求解；②首先根据相似三角形的对应边的比相等表示出AP边上的高，再进一步表示三角形的面积，根据函数解析式分析其最值．

解答：解：（1）把（4，n）代入反比例函数y=

24

x

，得：n=6
把（4，6）代入一次函数y=

3

4

x+m，得：m=3
∴y=

3

4

x+3．
令x=0，则y=3；令y=0，则x=-4．（如图）

（2）①根据题意，得AP=CQ=k，根据勾股定理，得AC=10，则AQ=10-k
当∠APQ=90°时，则有

AP

OA

=

AQ

AB

，即

k

4

=

10-k

5

，k=

40

9

；
当∠AQP=90°时，则有

AP

AB

=

AQ

OA

，即

k

5

=

10-k

4

，k=

50

9

．
②作QM⊥x轴于M，则△AQM∽△ACD，
则有

QM

CD

=

AQ

AC

，即

QM

6

=

10-k

10

，QM=

30-3k

5

．
则S_△APQ=

1

2

×

30-3k

5

×k=-

3

10

k²+3k
所以当k=5时，则该三角形的面积的最大值是7.5．

点评：能够根据函数的解析式求得点的坐标，能够根据点的坐标求得函数的解析式；熟练运用相似三角形的判定和性质．