Question

（1997•吉林）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a，b是关于x的一元二次方程x²-（c+4）x+4c+8=0的二根，且9c=25a•sinA．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）求△ABC的三边长．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系可知：a+b=c+4，ab=4c+8，因为a²+b²=（c+4）²-2（4c+8）=c²问题得证；
（2）在直角三角形ABC中sinA=

a

c

，又因为9c=25a•sinA，a=

3

5

c，由勾股定理得：b=

4

5

c，把a=

3

5

c，b=

4

5

c代入a+b=c+4得，可求出的值，进而求出a和b的值．

解答：（1）证明：
∵a、b是关于x的一元二次方程x²-（c+4）x+4c+8=0的二根
∴a+b=c+4，ab=4c+8，
∴a²+b²=（c+4）²-2（4c+8）=c²
∴△ABC是直角三角形；
（2）在Rt△ABC中sinA=

a

c

，
∵9c=25a•sinA，
∴25a²=9c²，
∴a=

3

5

c，
由勾股定理得：b=

4

5

c，
把a=

3

5

c，b=

4

5

c代入a+b=c+4得，

7

5

c=c+4，
解得：c=10，
∴a=6．b=8．

点评：本题考查了根与系数的关系以及勾股定理和逆定理的运用，题目设计比较新颖．