Question

已知关于x的方程（k-1）x²-6x+9=0
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．

Answer 1

【答案】分析：（1）分类讨论：当k-1=0，即k=1，方程化为-6x+9=0，有解；当k-1≠0，即k≠1，根据△的意义得△≥0，即6²-4×（k-1）×9≥0，解不等式组得k的范围，然后综合得到k的取值范围；
（2）当k-1≠0，即k≠1，根据△的意义得△＞0，即6²-4×（k-1）×9＞0，解不等式组即可得到k的取值范围；
（3）当k-1≠0，即k≠1，根据△的意义得△=0，即6²-4×（k-1）×9=0，解方程可得到k的值，再把k的值代入方程得到x²-6x+9=0，然后利用因式分解法解方程即可．
解答：解：（1）当k-1=0，即k=1，方程化为-6x+9=0，x=，
当k-1≠0，即k≠1，且△≥0，即6²-4×（k-1）×9≥0，解得k≤2，则k≤2且k≠1，
综上所述：k的取值范围k≤2；

（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴k-1≠0，即k≠1，且△＞0，即6²-4×（k-1）×9＞0，解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；

（3）∵方程有两个相等的实数根，
∴k-1≠0，即k≠1，且△=0，即6²-4×（k-1）×9=0，解得k=2，
原方程变形为：x²-6x+9=0，
∴（x-3）²=0，
∴x₁=x₂=3．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义以及分类讨论思想的运用．