Question

5．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．
（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；
（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM²=AB•BM．

Answer 1

分析 （1）连接AC，根据正方形的性质得到∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AD}{BE}$，根据已知条件得到四边形AMDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM=DF，等量代换得到AM=BE，于是得到结论．

解答 （1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，
∵BE=DF，∴CE=CF，
∴∠AEB=∠F=45°，
∴BE=BA=AD，
在△ADM和△BEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠EBM}\\{∠AMD=∠BME}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADM和△BEM，
∴DM=EM，即点M为ED中点；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，
∴△ADM∽△BEM，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AD}{BE}$，
∵AM∥DF，AF∥DE，
∴四边形AMDF是平行四边形，
∴AM=DF，
∵BE=DF，
∴AM=BE，
∴$\frac{AM}{BM}=\frac{AB}{AM}$，
∴AM²=AB•BM．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．