Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，CD=3，则AC等于

1. A.
   5
2. B.
   6
3. C.
   8
4. D.
   9

Answer 1

D
分析：连接BD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=AD，再根据等边对等角求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求出DE=CD，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，即可得解．
解答：解：连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠CBD=180°-90°-30°×2=30°，
∴∠CBD=∠ABD，
∴DE=CD=3，
又∵∠C=90°，∠A=30°，
∴AD=2DE=2×3=6，
∴AC=AD+CD=6+3=9．
故选D．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．