Question

20．P为等边△ABC内的一点，PA=10，PB=6，PC=8，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP′位置．
（1）判断△BPP′的形状，并说明理由；
（2）求∠BPC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP’=60°，AP=CP′=10，则利用等边三角形的判定方法可判断△BPP′是等边三角形；
（2）利用△BPP′是等边三角形得到∠BPP′=60°，PP′=PB=6，然后利用勾股定理的逆定理可证明△PCP’是直角三角形，∠P′PC=90°，再计算∠BPP′+∠P′PC即可．

解答 解：（1）△BPP′是等边三角形；理由如下：
∵△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP′位置，
∴BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=CP′=10，
∴△BPP′是等边三角形；
（2）∵△BPP’是等边三角形，
∴∠BPP’=60°，PP′=PB=6，
∵6²+8²=10²，
∴PP′²+PC²=P′C²，
∴△PCP′是直角三角形，∠P′PC=90°，
∴∠BPC=∠BPP′+∠P′PC=60°+90°=150°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．