Question

如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于点E，AF平分∠BAD交EC的延长线于点F，
（1）求作点F；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）求证：CA=CF．

Answer 1

分析：（1）根据作一个角的平分线的基本作图方法，即可求得F点；
（2）延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可证明CA=CF．

解答：解：（1）作图如图所示：

（2）证明：延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．
在Rt△BCD中，∵CE⊥BD，
∴∠DCE=∠DBC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴△DCB≌△CDA，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠FCH=∠CAD，①
又∵AG平分∠BAD=90°，
∴△ABG是等腰直角三角形，
从而易证△HCG也是等腰直角三角形，
∴∠CHG=45°．
∵∠CHG是△CHF的外角，
∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
∴∠CFH=45°-∠FCH．②
由①，②可知∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，
∴CA=CF．

点评：本题考查了尺规基本作图中的作一个角的角平分线和矩形的性质：各内角为直角、对边相等的性质，以及等腰三角形的判定，考查了全等三角形的证明和对应角相等的性质，本题中构建与∠CAD相等的角a是解题的关键．