Question

如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为________．

Answer 1

分析：先设正方形的边长为a，再求证Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，再由AE=BF=CG=DH=AB可求出其面积，由相似三角形的判定定理可求出△DHJ、△AEL、△BFN、△CKG是直角三角形，且都全等，再根据S_阴影=S_□ABCD-4S_△AED+4S_△AEL计算即可．
解答：解：设正方形的边长为a，则S_□ABCD=a²，
∵AE=BF=CG=DH=AB，
∴AE=BF=CG=DH=a，
∴AF==a，
∵∠DAE=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°，
∴Rt△AED≌Rt△DHC≌Rt△CGB≌Rt△BFA，
∴S_△AED=×a•a=a²．
∵Rt△AED≌Rt△BFA，
∴∠EAL=∠ADE，∠AEL=∠BFN，
∴∠ALE=∠DAE=90°，
∴△AEL是直角三角形，
∵∠EAL=∠EAL，∠ALE=∠ABF=90°，
∴Rt△AEL∽Rt△AFB，
∴==，即==，
解得，AL=a，EL=，
∴S_△AEL=AL•EL=×a×=，
同理可得，S_△AEL=S_△BNF=S_△CKG=S_△DHJ=，
∴S_阴影=S_{正方形ABCD}-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4S_△AED+4S_△AEL=a²-4×a²+4×=a²，
∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为a²：a²=．
点评：本题涉及到直角三角形的判定定理、相似三角形的判定及性质、矩形及直角三角形的面积公式，比较复杂，涉及面较广，但难度适中．