Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，再根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可证明；
（2）结合（1）中的结论，可以证明△ABC是等边三角形，即可求得AC的长，再根据锐角三角函数即可计算DE的长．

解答：（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∵DC=BD，
∴AB=AC．

（2）解：∵∠BAC=60°，
由（1）知AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
在Rt△BAD中，∠BAD=30°，AB=8，
∴BD=4，即DC=4．
又∵DE⊥AC，
∴DE=DC•sinC=4•sin60°=4×

3

2

=2

3

．

点评：本题考查了圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定．