Question

15．矩形ABCD中，AD=8，半径为5的⊙O与BC相切，且经过A、D两点，则AB=2或8．

Answer 1

分析 本题要分当AD，BC在圆心的同侧和圆心的异侧两种情况分别讨论，如图连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，由在矩形ABCD中，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，易得四边形CDFE是矩形，由垂径定理可求得AF的长，由勾股定理可求出OF的长，进而可求出AB的长．

解答 解：当AD，BC在圆心的异侧时，
连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，
∵BC是切线，
∴OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴AB=EF，
∵AD=8，
∴AF=DF=4，
∵AO=5，
∴OF=$\sqrt{A{O}^{2}-A{F}^{2}}$=3，
∴AB=EF=3+5=8；
当AD，BC在圆心的同侧时，可得AB=5-3=2，
故答案为：2或8．．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．