Question

【题目】阅读：已知△ABC，用直尺与圆规，在直线BC上方的平面内作一点M（不与点A重合），使∠BMC＝∠BAC（如图1）．

小明利用“同弧所对的圆周角相等”这条性质解决了这个问题，下面是他的作图过程：

第一步：分别作AB、BC的中垂线（虚线部分），设交点为O；

第二步：以O为圆心，OA为半径画圆（即△ABC的外接圆）

第三步：在弦BC上方的弧上（异于A点）取一点M，连结MB、MC，则∠BMC＝∠BAC．（如图2）

思考：如图2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E是CD上一点，DE＝2．

（1）请利用小明上面操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）

（2）求PC的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．
（2）先根据AD=6，CD=10，DE=2知CE=8，BE=10，从而得OB=OP=5，再由BQ=CQ=BC=3得OQ=4，再根据勾股定理求解可得．

解：（1）如图所示，点P即为所求：

（2）∵CD＝10，DE＝2，

∴CE＝8，

∵BC＝AD＝6，

∴BE＝10，

则OP＝OB＝5，

∵BQ＝CQ＝BC＝3，

∴OQ＝4，

则PQ＝9，

∴PC＝＝＝3．