Question

如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（-8，0），点N的坐标为（-6，-4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AD=m，且E，F，D分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFD的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFD是否存在邻边相等的情况？若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
（写错一个点的坐标扣1分）．

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点A（0，4），
∴c=4．则抛物线关系式为
y=ax²+bx+4．
将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，
得
解得
所求抛物线关系式为：y=-x²+x+4．

（3）∵OA=4，OC=8，
∴AF=4-m，OE=8-m．
∴S_{四边形EFDB}=S_梯形ABCO-S_△ADF-S_△EOF-S_△BEC
=OA（AB+OC）AF•ADOE•OFCE•OA
=×4×（6+8）-m（4-m）-m（8-m）-×4m
=m²-8m+28（0＜m＜4）
∵S=（m-4）²+12．
∴当m=4时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，
∴不存在m值，使S的取得最小值．

（4）①BE=FE，显然不成立；
②FD=DB；根据勾股定理列方程得（4-m）²+m²=（6-m）²，
解得m=-2+2或m=-2-2（负值舍去）．
③DB=BE；且BE⊥CO时，因为BE=4，则DB=4，m=AB-DB=6-4=2．
④FE=FD；
根据勾股定理列方程得（4-m）²+m²=6²+m²，
整理得m²-8m-20=0，m=-2或m=10，
经检验均不合题意．
∴当m=-2+2时，DB=DF，当m=2时，BE=BD．
分析：（1）利用点关于中心对称性质，画出梯形OABC，分别求出各点的坐标．
（2）因为已知A，B，C三点的坐标，所以可用待定系数法求出过此三点抛物线的解析式；
（3）根据梯形及三角形的面积公式可求出四边形BEFD的面积S与m之间的函数关系式，因为在梯形AOBE中，OA最短为4，故m的取值范围为0＜m＜4．根据S与m之间的关系式可知当m=4时，S取最小值．又因为m=4时，原函数是无意义，故不存在m值，使S取得最小值．
（4）此题应分四种情况讨论：①BE=FE，②FD=DB，③DB=BE，④FE=FD．
点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差“关系求解．要充分利用图形特点，为解题提供思路．