Question

如图，O是边长为a的正方形ABCD的对称中心，P为OD上一点，OP=b（），连接AP，把一个边长均大于的直角三角板的直角顶点放置于P点处，让三角板绕P点旋转，旋转时保持三角板的两直角边分别与正方形的BC、CD边（含端点）相交，其交点为E、F．
（1）在旋转过程中，PE的长能否与AP的长相等？若能，请作出此时点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．
（2）探究在旋转过程中，线段EF与AP长的大小关系，并对你得出的结论给予证明．

Answer 1

解：（1）在旋转过程中，PE的长能与AP的长相等．如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，
∴△BPA≌△BPC，
∴PA=PC，
∴当PE运动到PC位置时（点E与C重合）时，PE=AP；

（2）线段EF≥AP．理由如下：
过P点作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，连EF，MN，PC，如图，
∴PE＞PN，PF＞PM，
而EF=，MN=，
∴EF＞MN，
又∵MN=PC=PA，
∴EF＞PA，
当点E与N重合，则F点与M重合，此时EF=PA，
∴在旋转过程中，线段EF≥AP．
分析：（1）根据正方形的性质得∠ABP=∠CBP=45°，BA=BC，则△BPA≌△BPC，得PA=PC，于是有当PE运动到PC位置时（点E与C重合）时，PE=AP；
（2）过P点作PM⊥DC于M，PN⊥BC于N，连EF，MN，PC，则PE＞PN，PF＞PM，利用勾股定理得到EF＞MN，即有EF＞PA，当点E与N重合，则F点与M重合，此时EF=PA，于是有
线段EF≥AP．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以及勾股定理．