Question

已知一次函数y=2x-1和反比例函数y=，其中一次函数的图象经过（m，n），（m+1，n+k）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，点A是上述两个函数的一个交点，且在第一象限内，求点A的坐标；
（3）利用（2）的结果，在x轴上是否在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得
②-①得：k=2
∴反比例函数的解析式为y=．

（2）由，
解得，，．
∵点A在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）

（3）OA==，OA与x轴所夹锐角为45°，
①当OA为腰时，由OA=OP₁得P₁（，0），
由OA=OP₂得P₂（-，0）；
由OA=AP₃得P₃（2，0）．
②当OA为底时，OP₄=AP₄得P₄（1，0）．
∴符合条件的点有4个，分别是（，0），（-，0），（2，0），（1，0）．
分析：（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k，进而求得反比例函数的解析式．
（2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．
（3）应先求出OA的距离，然后根据：OA=OP，OA=AP，OP=AP，分情况讨论解决．
点评：本题考查了反比例函数的综合应用，利用在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．同时在两个函数解析式上，应是这两个函数解析式的公共解．答案较多时，应有规律的去找不同的解是解题关键．