Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴分别交于A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线的顶点，P是x轴下方的抛物线上的一点，若∠PBA=∠CBD，求点P的坐标；
（3）连接DC并延长交x轴于E点（如图2）．若将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段DE总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

Answer 1

解：（1）把（-3，0）（1，0）（0，3）代入y=ax²+bx+c可得
，
解得，
∴y=-x²-2x+3；

（2）连接CD，过C点作CH⊥BD于H．
∵y=-x²-2x+3；
∴顶点D的坐标是（-1，4），
∵B（1，0）、C（0，3），
∴，BD=2，，
设DH=x，BP交y轴于F，
在Rt△DCH中，CH²=DC²-DH²，
在Rt△HBC中，CH²=CB²-BH²，
∴DC²-DH²=CB²-BH²，
∴，
∴，
∴．
在Rt△BCH中，．
∵∠FBO=∠CBH，
∴Rt△FBO∽Rt△CBH，
∴，
即，
∴．
∵B（1，0），
可得直线BP的解析式为．
解方程组，
得
∴，；

（3）①若抛物线沿其对称轴向下平移m（m＞0）个单位．
∴y=-x²-2x+3-m，
∵直线CD：y=-x+3，
由消去y，得x²+x+m=0．
要使抛物线与线段DE总有交点，必须△=1-4m≥0，
得．
∴．
∴若抛物线向下平移，最多可平移个单位长度．
②当y=0，-x+3=0得x=3，
∴E（3，0），
若抛物线沿其对称轴向上平移n（n＞0）个单位，
∴y=-x²-2x+3+n．
∴当x=3，y=n-12．
要使抛物线与线段DE总有交点，必须n-12≤0，
∴n≤12．
∴0＜n≤12．
∴若抛物线向上平移，最多可平移12个单位长度．
综上可知，抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段DE总有公共点，则向上最多可平移12个单位长度，向下最多可平移个单位长度．
分析：（1）把A、B、C三点坐标代入二次函数解析式，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解即可；
（2）连接CD，过C点作CH⊥BD于H．根据二次函数解析式易求其顶点坐标D（-1，4），再结合两点之间的距离公式易求CD、BC、BD，设DH=x，BP交y轴于F，在Rt△CDH和Rt△CBH中，利用勾股定理可得DC²-DH²=CB²-BH²，即，解可求DH，进而可求BH、CH，由于∠PBA=∠CBD，易证Rt△FBO∽Rt△CBH，
利用比例线段可求OF，容易得出直线BP的解析式，然后把此直线的解析式与二次函数解析式联合解方程组，易求P点坐标；
（3）若抛物线沿其对称轴向下平移m（m＞0）个单位，那么y=-x²-2x+3-m，根据C、D坐标，以求过C、D的直线解析式，两个解析式联合，易得关于x的一元二次方程，若总有公共点，那么△≥0，进而可求m的取值范围，从而可得m的最大值；
若抛物线沿其对称轴向上平移n（n＞0）个单位，那么y=-x²-2x+3+n，根据直线CD的解析式，易求E点坐标（3，0），把x=3代入二次函数解析式，可得y=n-12，由于抛物线与线段DE总有交点，那么必须n-12≤0，即n≤12，可得0＜n≤12，易得n的最大值．
点评：本题考查了二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及灵活使用两点之间的距离公式、勾股定理，相似三角形的判定和性质，注意二次函数与直线的交点问题．