Question

【题目】如图，把△OAB放置于平面直角坐标系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=，把△OAB沿x轴的负方向平移2OA的长度后得到△DCE．

（1）若过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过点B、E，求此抛物线的解析式；

（2）若点P在该抛物线上移动，当点p在第一象限内时，过点p作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为定点的三角形与以B、C、E为定点的三角形相似，直接写出点P的坐标；

（3）若点M（﹣4，n）在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M的对应点为M′，点B的对应点为B′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）P（1，）或P （，）；（3）存在，将抛物线向左平移个单位时，四边形M′B′CD的周长最短，此时抛物线的解析式为y=（x+）2．

【解析】

试题分析：（1）根据平移的性质求得B，E的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）点P的坐标可设为（x，），因为∠BEC=∠OQP=90°，所以以O、P、Q为顶点的三角形与以B、C、E为顶点的三角形相似时，Q与E一定对应，然后分两种情况进行讨论：（i）△OQP∽△BEC；（ii）△PQO∽△BEC；根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可；（3）左右平移时，使M'D+CB'最短即可，那么作出点M′关于x轴对称点的坐标为M″，得到直线B″M″的解析式，令y=0，求得相应的点的坐标；进而得到抛物线顶点平移的规律，用顶点式设出相应的函数解析式，把新顶点坐标代入即可.

试题解析：（1）依题意得：B（2，），∵OC=2，CE=，∴E（﹣2，）．

∵抛物线经过原点和点B、E，∴设抛物线的解析式为y=ax2（a≠0）．

∵抛物线经过点B（2，），∴=4a．解得：a=．

∴抛物线的解析式为y=x2；

（2）∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（x，x2）．

分两种情况：（i）当△OQP∽△BEC时，则，即 ，解得：x=1，∴点P的坐标为（1，）；

（ii）当△PQO∽△BEC时，则，即，解得：x=，∴点P的坐标为（，）．

综上所述，符合条件的点P的坐标是P（1，）或P （，）；

（3）存在．

因为线段M′B′和CD的长是定值，所以要使四边形M′B′CD的周长最短，只要使M′D+CB′最短．

如果将抛物线向右平移，显然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某个位置，使四边形M′B′CD的周长最短，显然应该将抛物线 y=x2向左平移．

由题知M（﹣4，6）．设抛物线向左平移了n个单位，则点M′和B′的坐标分别为

M′（﹣4﹣n，6）和B′（2﹣n，）．

因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B″（﹣n，）．

要使M′D+CB′最短，只要使M′D+DB″最短．点M′关于x轴对称点的坐标为M″（﹣4﹣n，﹣6）．

设直线M″B″的解析式y=kx+b（k≠0），点D应在直线M″B″上，

∴直线M″B″的解析式为y=，将B″（﹣n，）代入，求得n=．

故将抛物线向左平移个单位时，四边形M′B′CD的周长最短，此时抛物线的解析式为y=（x+）2．