Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：△BDF是等边三角形；
（2）连接AF、DC，若BC=3，写出求四边形AFCD面积的思路．

Answer 1

分析 （1）连接OE，如图，利用切线的性质得∠OEA=90°，则∠AOE=∠B=60°，于是可判断△ODE为等边三角形，所以∠ODE=60°，所以△BDF是等边三角形；
（2）如图，作DH⊥AC于点H，如图，利用∠BAC=30°，BC=3可求AB，AC的长；再由∠OAE=30°可知AO=2OE，则可计算AD，DB，DH的长；从而得到由（1）得CF的长；然后计算四边形AFCD的面积．

解答 （1）证明：连接OE，如图，
∵AC切⊙O于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEA=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOE=60°，∠B=60°，
∵OD=OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴∠ODE=60°，
∴△BDF是等边三角形；
（2）解：如图，作DH⊥AC于点H，如图，
①由∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，可求AB，AC的长；
②由∠AEO=90°，∠OAE=30°，可知AO=2OE，可求AD，DB，DH的长；
③由（1）可知BF=BD，可求CF的长；
④由AC，DH，CF的长可求四边形AFCD的面积．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等边三角形的判定与性质．