Question

如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连结BC、AD.

（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；

（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90º后再沿轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.                                                                                     

       

Answer 1

解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，  又D（5，2）， ∴C（0，2），OC=2 . …1 分

     ∴    解得

∴抛物线的解析式为： …… 4分

（2）点E落在抛物线上. 理由如下：

由y = 0，得.

解得x₁=1，x₂=4. ∴A（4，0），B（1，0）.   …… 5分      ∴OA=4，OB=1.

由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，  ∴点E的坐标为（3，－1）.… 7分

把x=3代入，得， ∴点E在抛物线上. … 8分

（3）存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

       S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，        

下面分两种情形： ①当S₁∶S₂ =1∶3时，，

此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S₁=2，得，解得；  …… 10分

 ②当S₁∶S₂=3∶1时，, 此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，由S₁= 6，

得，解得.

综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）…… 12分