Question

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)求的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：(1)根据所给的三角形AME的三边数据，结合勾股定理逆定理可判断出三角形AME是直角三角形，即∠AEM=90°，再根据两直线平行，同位角相等，可得∠B=90°，根据切线的判定定理：经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线.可证得BC是圆O的切线.(2)连接OM,根据正弦函数的定义sin∠A=,可求出∠A=30°，根据圆周角定理，可求出∠EOM=60°，在△OME中，根据正弦函数的定义sin∠EOM=,可求出OM的值，知道了扇形的半径和圆心角，利用弧长公式即可求出胡BM的长.

试题解析：（1）证明：∵ME=1，AM=2，AE=，∴ME²+AE²=AM²=4，

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．

又∵MN∥BC，∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．

又∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；

（2）解：连接OM．

在Rt△AEM中，sinA==，

∴∠A=30°．

∵AB⊥MN，

∴=，EN=EM=1，

∴∠BOM=2∠A=60°．

在Rt△OEM中，sin∠EOM=，

∴OM=，（1分）

∴的长度是：•=．

考点：1、切线的判定；2、弧长的计算.