Question

如图，Rt△ABC中，AD为斜边BC的高，P为AD的中点，BP交AC于N，NM⊥BC于M．延长BA、MN交于E．求证：
（1）MN=EN；
（2）MN²=AN•NC．

Answer 1

证明：（1）∵AD为斜边BC的高，NM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴△BAP∽△BEN，△BPD∽△BNM，
∴=，=，
∴=，
而P为AD的中点，
∴AP=DP，
∴MN=EN；
（2）∵∠NMC=∠NAE=90°，∠MNC=∠ENA，
∴△MNC∽△ANE，
∴MN：AN=NC：EN，
而MN=EN，
∴MN：AN=NC：MN，
∴MN²=AN•NC．
分析：（1）易得AD∥EM，根据三角形相似的判定方法得到△BAP∽△BEN，△BPD∽△BNM，则=，=，所以=，然后根据AP=DP即可得到MN=EN；
（2）易得△MNC∽△ANE，根据三角形相似的性质得MN：AN=NC：EN，而MN=EN，则MN：AN=NC：MN，然后根据比例性质即可得到结论．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等．