Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB，AC于点D，E．

（1）求证：AE＝2CE；

（2）当DE＝1时，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度数，又由AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可求得∠CBE的度数，然后由含30°角的直角三角形的性质，证得AE=2CE．
（2）连接EB，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，求出∠EBC=30°，根据直角三角形的性质求出BE，根据勾股定理求出BC、AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．

（1）连接BE．

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）连接BE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴∠EBC=30°，
∴EB=2ED=2，EC=BE=1，BC==，

∴EA=EB=2，AC=EC+EA=3，
∴△ABC的面积=×BC×AC=××3=．