Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．则下列结论中：
①AF平分∠BAC；②AB=AE；③BH=HF；④DH=CF；⑤AC=AB+BH．
正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：首先证明∠HBG=∠HAD，再证明∠GBF=∠BAF，再根据∠GBF=∠HBG可得∠HAD=∠BAF，进而得到结论；过点D作KD∥FC交AF于K，所以

KD

FC

=

AD

AC

=

1

2

，然后可以证出进而得到FC=2KD，再证明∠DKH=∠DHK得到KD=HD，进而得到FC=2HD，再根据全等三角形的判定和性质证明其他选项即可．

解答：解：∵BD⊥AC，AF⊥BE，
∴∠ADH=∠HGB=90°．
∵∠BHG=∠AHD，
∴∠HBG=∠HAD．
∵∠ABC=∠FGB=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∠GBF+∠AFB=90°．
∴∠GBF=∠BAF．
∵BE平分∠DBC，
∴∠GBF=∠HBG．
∴∠HAD=∠BAF．
即 AF平分∠BAC故①正确；
∵BG⊥AG，BG平分∠DBC，
∴BH=BF，
∵∠HBF=45°，
∴△BHF不是等边三角形，
∴BH≠HF，故③不正确；
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
在△ABH和△AEG中，

∠AGB=∠AGE=90° ∠ABG=∠AED AG=AG

，
∴△ABH≌△AEG，
∴AB=AE故②正确；
②∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠C=∠BAC=45°，
∴AB=BC．
∵BD⊥AC，
∴AD=DC=

1

2

AC．
过点D作KD∥FC交AF于K，
∴

KD

FC

=

AD

AC

=

1

2

．
∴FC=2KD，
∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，
∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90°．
∴∠BFH=∠BHF．
∴∠BHF=∠DHK．
∴∠BFH=∠DHK．
∵KD∥BC，
∴∠DKH=∠BFH．
∴∠DKH=∠DHK．
∴KD=HD．
∴FC=2HD故④错误；
∵AB=AE，AC=AE+CE，
∴AC=AB+CE，
而CE≠BF，
∴AC≠AB+BF，
故⑤错误，
故答案为：①②．

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理，关键是证明KD=HD和MD=HD．此题综合性较强，找准角之间的相等关系是解决此题的难点．