Question

14．如图，⊙O₁与⊙O₂交于A、B两点，P是⊙O₁上的点，连接PA、PB交⊙O₂于C、D，求证：PO₁⊥CD．

Answer 1

分析 延长PO₁⊙O₁于E，连接AB、AE，根据圆周角定理求出∠EAP=90°，根据P、E、A、B四点共圆求出∠EPB+∠EAB=180°，求出∠EPA+∠PAB=90°，根据圆周角定理求出∠PAB=∠BDC，推出∠EPB+∠PDM=90°，根据三角形内角和定理求出∠DMP=90°即可．

解答 证明：如图，延长PO₁⊙O₁于E，连接AB、AE，

则∠EAP=90°，
∵P、E、A、B四点共圆，
∴∠EPB+∠EAB=180°，
∴∠EPA+∠PAB=180°-90°=90°，
∵∠PAB=∠BDC，
∴∠EPB+∠PDM=90°，
∴∠DMP=180°-90°=90°，
∴PO₁⊥CD．

点评 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，也考查了圆内接四边形的性质．