Question

7．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解．

解答 解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-25+5b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为：y=-x²+4x+5；

（2）∵点P的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F（m，0）．
∴PE=|y_P-y_E|=|（-m²+4m+5）-（-$\frac{3}{4}$m+3）|=|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|，
EF=|y_E-y_F|=|（-$\frac{3}{4}$m+3）-0|=|-$\frac{3}{4}$m+3|．
由题意，PE=5EF，即：|-m²+$\frac{19}{4}$m+2|=5|-$\frac{3}{4}$m+3|=|-$\frac{15}{4}$m+15|
①若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-$\frac{15}{4}$m+15，
整理得：2m²-17m+26=0，
解得：m₁=2，m₂=$\frac{13}{2}$；
②若-m²+$\frac{19}{4}$m+2=-（-$\frac{15}{4}$m+15），
整理得：m²-m-17=0，
解得：m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$或m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$．
由题意得，m的取值范围为：-1＜m＜5，
故m=$\frac{13}{2}$、m=$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$这两个解均舍去．
∴m=2或m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法求函数解析式等多个知识点，需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．