Question

19．如图，已知△ABC，DE垂直平分BC边，∠BAC外角平分线与DE交于E，过E作EF垂直直线AB于F．若AF=3，AB=7，那么AC长是13．

Answer 1

分析 过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC，可证得△FAE≌△NAE，进一步可证得△EFB≌△ENC，可得到AC=2AF+AB，可求得AC的长．

解答 解：过E作EN⊥AC于N，并连接EB、EC．
∵EA平分∠FAC，
∴∠EAF=∠EAN，
∵EF⊥AB，EN⊥AC，
∴∠EFA=∠ENA=90°，
在△FAE和△NAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFA=∠ENA}\\{∠EAF=∠EAN}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△NAE（AAS），
∴EF=EN，AF=AN，
∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
在Rt△EFB和Rt△ENC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EN}\\{EB=EC}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFB≌Rt△ENC（HL），
∴FB=NC，
∴AC=AN+NC=AF+BF=2AF+AB=6+7=13，
故答案为：13．

点评 本题主要考查线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等得出AC=2AF+AB是解题的关键．