Question

5．如图，等腰直角△ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ的边长均为6cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右平移，直到C点与M点重合时为止．设△ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm²，MA的长度为xcm．
（1）试写出y与x之间的函数表达式；
（2）当MA=4cm时，重叠部分的面积是多少？
（3）当MA的长度是多少时，等腰直角△ABC与正方形MNPQ的重叠部分以外的四边形BCMD的面积与重叠部分的面积比为3：1？
（4）开始时等腰直角△ABC中A点与M点重合，已知△ABC向右移动的速度是1cm/s，在A点与N点重合后继续向右移动，当运动停止时边BC与PN重合，探究重叠部分的面积y（cm²）与运动时间t（s）的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式计算即可；
（2）把x=4代入解析式计算；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算；
（4）分0≤x≤6和6＜x≤12两种情况，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴MA=MD=xcm，
∴y=$\frac{1}{2}$x²；
（2）当MA=4cm时，即x=4，
y=$\frac{1}{2}$×4²=8cm²；
（3）等腰直角△ABC与正方形MNPQ的重叠部分以外的四边形BCMD的面积与重叠部分的面积比为3：1，
则重叠部分的面积与等腰直角△ABC的面积比为1：4，
∴AM：AC=1：2，
∴MA=3cm；
（4）当0≤x≤6时，y=$\frac{1}{2}$x²，
当6＜x≤12时，y=18-$\frac{1}{2}$（x-6）²．

点评 本题考查的是正方形和等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的两锐角是45°是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．