Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD=5，AB=DC=2，点P在线段AD上移动（点P与点A、D不重合），连接PB、PC．
（1）当△ABP∽△PCB时，请写出图中所有与∠ABP相等的角，并证明你的结论；
（2）求（1）中AP的长；
（3）如果PE分别交射线BC、DC于点E、Q，当△ABP∽△PEB时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：有∠PCB和∠DPC．
∵△ABP∽△PCB，
∴∠ABP=∠PCB，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠DPC=∠ABP．

解：（2）梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC，∴∠A=∠D．
∵∠DPC=∠ABP∴△ABP∽△DPC．
∴．
设AP=x，则DP=5-x，
∴．
解得x₁=1，x₂=4，
∴AP=1或4．

解：（3）①当点E在线段BC上时，
∵△ABP∽△PEB，∴∠ABP=∠PEB
∵AD∥BC，∴∠PEB=∠DPQ
∴∠ABP=∠DPQ．
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠D=∠A
∴△ABP∽△DPQ．
∴．
∵AP=x，CQ=y，∴PD=5-x，DQ=2+y．
∴．
∴．
令y＞0，即．
观察图象得1＜x＜4，
又∵x＞0，5-x＞0，
综上所述1＜x＜4；
②当点E在线段BC的延长线上时，
∵△ABP∽△PEB，∴∠ABP=∠E．
∵AD∥BC，∴∠E=∠DPQ．
∴∠ABP=∠DPQ．
在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠D=∠A．
∴△ABP∽△DPQ．
∴．
∵AP=x，CQ=y，
∴PD=5-x，DQ=2-y．
∴．
∴．
令y＞0，即．
观察图象得x＜1或4＜x．
又∵x＜5，
综上所述：0＜x＜1或4＜x＜5．
分析：（1）根据△ABP∽△PCB，得出∠ABP=∠PCB，进而得出∠DPC=∠PCB，∠DPC=∠ABP；
（2）首先证明△ABP∽△DPC，从而得出，即可求出AP的值；
（3）分别从当点E在线段BC上时，②当点E在线段BC的延长线上时，进行分析得出答案即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的综合应用，进行分类讨论注意以不要漏解是解决问题的关键．