Question

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A、B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标．

Answer 1

解：（1）∵顶点坐标为M（1，-4），
∴二次函数为y=（x-1）²-4，
令y=0，则（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设点P到AB的距离为h，
∵S_△PAB=S_△MAB，
∴AB•h=•AB•4，
解得h=3，
当点P在x轴下方时，点P的纵坐标是-3，
∴（x-1）²-4=-3，
解得x₁=0，x₂=2，
此时点P的坐标为（0，-3）或（2，-3），
点P在x轴上方时，点P的纵坐标为3，
∴（x-1）²-4=3，
解得x₁=+1，x₂=-+1，
此时点P的坐标为（+1，3）或（-+1，3），
综上所述，点P的坐标为（0，-3），（2，-3），（+1，3），（-+1，3）；

（3）如图，取点M（1，-4）关于y轴的对称点M′（-1，-4），
连接BM′与y轴的交点即为使得△QMB周长最小的点Q，
设直线BM′的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
∴BM′的解析式为y=x-3，
令x=0，则y=-3，
所以，点Q的坐标为P（0，-3）．
分析：（1）把顶点坐标代入函数解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标；
（2）设点P到AB的距离为h，利用三角形的面积列式求出h，再分点P在x轴下方和上方两种情况把点P的纵坐标代入函数解析式求解即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点M关于y轴的对称点M′，连接BM′与y轴的交点即为所求的点Q，利用待定系数法求出直线BM′的函数解析式，再令x=0求解即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了顶点式解析式，二次函数图象与x轴的交点问题，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称确定最短路线问题，综合性较强，但难度不大．