Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：AE•AO=BF•BO；
（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数的性质得出，xy=k，即可得出AE•AO=BF•BO；
（2）利用E点坐标首先求出BF=

4

3

，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理得出即可．

解答：（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy=k，
∴AE•AO=BF•BO；

（2）解：∵点E的坐标为（2，4），
∴AE•AO=BF•BO=8，
∵BO=6，∴BF=

4

3

，
∴F（6，

4

3

），
分别代入二次函数解析式得：

c=0 4a+2b+c=4 36a+6b+c= 4 3

，
把c=0代入

c=0 4a+2b+c=4① 36a+6b+c= 4 3 ②

得：

2a+b=2 18a+3b= 2 3

，

解得：

a= - 4 9 b= 26 9

，
可得原方程组的解为：

a=- 4 9 b= 26 9 c=0

，
∴y=-

4

9

x²+

26

9

x；

（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的C'点，
过点E作EG⊥OB，垂足为G．
由题意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=

k

x

得：x=

1

4

k，把x=6代入y=

k

x

得：y=

1

6

k，
∴EC'=EC=6-

1

4

k，C′F=CF=4-

1

6

k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-

1

4

k）：（4-

1

6

k）=[3（2-

1

12

k）]：[2（2-

1

12

k）]，
∴C'B=

8

3

，
∵C'B²+BF²=C'F²，
∴（

8

3

^）2+（

1

6

k）²=（4-

1

6

k）²，
解得k=

20

3

，
∴BF=

k

6

=

10

9

，
∴存在符合条件的点F，它的坐标为（6，

10

9

）．
∴FO=

3016

9

=

2 754

9

．

点评：此题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合以及利用相似三角形的性质是这部分考查的重点也是难点．