Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+8与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C在x轴的负半轴上，∠CBA=∠CAB．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P从B点出发，沿线段BC向C点运动，点Q从A点出发，沿x轴正方向运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，当点P到达C点时，两点停止运动，连结PQ，交直线AB于点D，过点P作PE⊥AB，垂足为点E，设运动的时间为t秒，求在运动过程中线段DE的长；
（3）在（2）的条件下，作△PED的外接圆⊙G，求t为何值时，它与△ABC的一边相切．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据解析式，可得函数与坐标轴的交点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据等腰三角形的判定，可得AC与BC的关系，根据解方程，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角形的判定，可得AB与BC的关系，根据线段的和差，可得AF=PB=t=AQ，根据相似三角形的性质，可得

PF

AB

=

PC

BC

，再根据相似三角形的判定与性质，可得

PB

AB

=

BE

AO

，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据切割线的性质，可得PB²=BE•BD，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）A点坐标为（4，0），B点坐标为（0，8），AB=

42+82

=4

5

，
∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，设OC=m，
∴BC=

m2+64

，AC=m+4，
∴

m2+64

=m+4，解得m=6，
∴C点坐标为（-6，0）
∴BC的解析式为y=

4

3

x+8；
（2）过P作PF∥AB交x轴于F，
∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，
∴AF=PB=t=AQ，
∴AD为△PQF中位线，
∵PB=AQ=t，
∴PC=BC-PB=10-t，
∵

PF

AB

=

PC

BC

即

PF

4 5

=

10-t

10

∴
PF=

2 5 (10-t)

5

∴AD=

5 (10-t)

5

，Rt△PBE∽Rt△BAO，
∴

PB

AB

=

BE

AO

BE=

PB×AO

AB

=

4t

4 5

=

5

5

t
∴DE=AB-BE-AD=4

5

-

5

5

t-

5 (10-t)

5

=2

5

；
（3）当⊙G与BC相切时，PB²=BE•BD，即t²=

5 t

5

×（

5 t

5

+2

5

）解得t₁=

5

2

，t₂=0（不符题意舍去）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了勾股定理，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，切割线定理．