Question

如图七，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(-4, 0)，点M、N分别为线段AC和

射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．

(1)求证：MN∶NP为定值；

(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；

(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

Answer 1

证明：(1) 过点N作NH⊥x轴于点H，…………………1分

设AN=5k，得：AH=3k，CM=2k

①　当点M在CO上时，点N在线段AB上时：

   ∴OH=6-3k，OM=4-2k， ∴MH=10-5k，

   ∵PO∥NH，∴………………2分

   ②　当点M在OA上时，点N在线段AB的延长线上时：

    ∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10，

    ∵PO∥NH∴，………………2分

解：(2) 当△BNP与△MNA相似时：

①　当点M在CO上时，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，

∴△BNP∽△MNA△∽BOA，

，，， ……2分

②　当点M在OA上时，只可能是∠NBP=∠NMA，∴∠PBA=∠PMO，

∵

∴，矛盾∴不成立. ………………………2分

(3) ∵，，∴，，

①　当点M在CO上时，，

(ⅰ) ，，， ………………………1分

(ⅱ) ，则，∵，矛盾∴不成立…1分

(ⅲ) ，则

∵,  ，∴

又∵，可证△为等腰三角形，

∴，∴，∴，……………………………1分

②　当点M在OA上时，，

(ⅰ) ，，， ………………………1分

(ⅱ) 或∵，∴不成立．