Question

已知关于x的方程（x-3）（x-2）-p²=0
（1）无论p为何值时，方程（x-3）（x-2）-p²=0总有两个不相等的实数根吗？给出你的答案并说明理由．（2）若方程的一个根是x₁=1，求方程的另一个根x₂及p的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，要使方程总有两个不相等的实数根，只需使它的△＞0恒成立，判断它的△可得结论；
（2）由根与系数的关系可得x₁+x₂=5，x₁•x₂=6-p²；而方程的一个根是x₁=1，代入可得x₂与p的值．

解答：（1）证明：方程（x-3）（x-2）-P²=0变为x²-5x+6-p²=0
其判别式△=1+4p²恒大于0，
所以无论p取何值，原方程总有两个不等的实数根，

（2）解：由根与系数的关系可得
x₁+x₂=5
x₁•x₂=6-p²
得x₂=4，p=±

2

；
所以另一个根是4，p的值是±

2

．

点评：主要考查了根的判别式和根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．已知一元二次方程的一个根，利用一元二次方程根与系数的关系求解方程的另一根与未知系数是常见的题型，需要熟练掌握．